博多駅からシャトルバスも出ていますが交通渋滞も考えられるので、
博多駅から福岡市営地下鉄に乗り福岡空港で下車。4番出口から地上に出てもらうと、そこがシャトルバス乗り場になっています。このルートが一番だと思います。
帰りも逆を辿るのが良いと思います。