鞠とか鯱とかはネット用語みたいなものです。
例えばマリノスであれば頭文字のマリ→鞠、グランパスであればマスコットがシャチ→鯱、になります。
使うのは人それぞれですが、、僕は札幌がネットでの同様の呼び名がさっぽ◯とか奴◯などと呼ばれているので、あまり使いませんが。