一例ですが、神埼駅という鳥栖駅から列車で20分程の駅のそばに、軒先パーキングというサイトで検索したら神埼駐車場という名前のネット予約できる駐車場があり、6台ほどしか停められないですが、まだ空いているようです。
料金は一日400円。神埼駅まで徒歩9分ほど。神埼駅から鳥栖駅までの運賃が片道370円です。ちょっと鳥栖駅から離れますが着いて慌てて探すのが嫌でしたらご参考までに。。