Youtubeの動画画面にタッチすると、
左上に矢印が右上を向いたボタン？があります。
これは「共有」ボタンなのですが、「コピー」を選択するとURLがコピーされます。

上のやり方はAndroidですが、iPhoneも似たようなものかもしれません。
お試しあれ。