「今シーズンまでで契約を終了して、来シーズンの契約を更新しない」いう意味ですから、今シーズンはまだ終わってないので、選手は天皇杯には出場します。

そのため、奥田選手は天皇杯でベンチ入りすることもできます。

ただし、あまりないことですが選手が何らかの理由でシーズン途中で契約を解除されてしまった場合は、試合には出られません。
一般の会社員の世界でいう、いわゆる懲戒解雇に相当します。