関東住みなので鳥栖の地域の事情は詳しくありませんが、フレスポの駐車場に関してはフレスポ側が有料化するなどの対策を取るしかないんじゃないですか？周囲でもっと駐車スペースを確保するというのは、あまり対策にならないと思います。フレスポに停める人は停めると思います。フレスポ利用者が迷惑しないようにするにはフレスポ側が対策をとらなければ。
もしくはフレスポに許可をもらい、そういう看板か弾幕を用意して注意換気すると、減るかもしれませんね。