前の方も書かれていますが、新幹線の行き先別に案内すると
◆新幹線が博多行きの場合
博多で鹿児島本線に乗り換えて鳥栖駅まで快速で30分、特急で20分程度

◆新幹線が鹿児島中央行きの場合
新鳥栖で長崎本線に乗り換えて鳥栖駅まで一駅ですが、本数が一時間に特急各停合わせて4本程度なので少し待たされるかも知れません

これが一番確実かと思います