当の会社が自社系販売店(タイヤ販売にサービスを限ったことではない)をタイヤ館やタイヤマンとすら名付けているがね(笑)

まあ、タイヤに限った企業でもないというのもあるが、なんの会社と言われればタイヤ屋さんと言って差し支えないだろうし、言われて憚るとも思えんが。
シェアは世界No.1だし、レギュレーションにもよるが年によってはF1へのタイヤ供給を言一手に引き受けていた程の信頼のタイヤメーカーをだしな。

そもそもリーグカップの冠としてどう表現するか？の話であって、前提そのものが別だがね。

もしBRIDGESTONEがスポンサーを引き受けた場合タイヤ杯(自転車ピンとくるか微妙)と表現する出るだろうが、特に目くじらを立てる必要は無いと思うね。